Найдите наименьшее значение функции y=2sinx+cos2x на отрезке [0; 5pi/6]

Найдем наименьшее значение функции y = 2 * sin x + cos (2 * x) на отрезке [0; 5 * pi/6].

1) y (0) = 2 * sin 0 + cos (2 * 0) = 2 * sin 0 + cos 0 = 2 * 0 + 1 = 0 + 1 = 1;

y (5 * pi/6) = 2 * sin (5 * pi/6) + cos (2 * 5 * pi/6) = 2 * sin (5 * pi/6) + cos (10 * pi/6) = 2 * 1/2 + 1/2 = 2/2 + 1/2 = 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5;

2) Найдем производную функции y = 2 * sin x + cos (2 * x):

y ' = (2 * sin x + cos (2 * x)) ' = 2 * cos x + ( - sin x) * 2 = 2 * cos x - 2 * sin x;

3) Приравняем производную к 0 и получим уравнение:

2 * cos x - 2 * sin x = 0;

2 * (cos x - sin x) = 0;

(cos x - sin x) ^ 2 = 0;

cos ^ 2 x - 2 * sin x * cos x + cos ^ 2 x = 0;

1 - sin (2 * x) = 0;

sin (2 * x) = 1;

2 * x = pi/2 + 2 * pi * n, где n принадлежит Z;

x = pi/4 + pi * n, где n принадлежит Z;

При n = 0, x = pi/4 принадлежит [0; 5 * pi/6];

При n = 1, x = pi/2 + pi = 3 * pi/2 не принадлежит [0; 5 * pi/6];

При n = - 1, x = pi/2 - pi = - pi/2 не принадлежит [0; 5 * pi/6];

4) y = 2 * sin p/4 + cos (2 * pi/4) = 2 * √2/2 + 0 = √2 = 1.4;

Ответ: наименьшее значение y (0) = 1.