Градусная мера угла ромба равна 60°. Вычислите площадь круга, вписанного в этот ромб, если длина его меньшей диагонали равна 6 см.

1. Известно:

а) диагонали ромба делят углы ромба пополам и в точке пересечения перпендикулярны и делятся пополам;

б) площадь круга равна П * R^2;

в) радиус вписанной в ромб окружности R = d1 * d2 : 4 * а, где d1 и d2 - диагонали ромба, а - его сторона.

2. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей и стороной ромба, найдем половину второй диагонали d2, если известно, что d1 = 6 см.

d1/2 : d2/2 = tg30*;

d2/2 = d1/2 : tg30 * = 3 : 3^1/2 : 3 = 9 : 3^1/2;

d2 = 18 : 3^1/2.

3. По теореме Пифагора из этого же треугольника вычислим сторону ромба а, которая в треугольнике является гипотенузой.

а ^2 = (d1/2) ^2 + (d2) ^2 = 9 + (9 : 3^1/2) ^2 = 9 + 27 = 36;

а = 36^1/2 = 6 см.

4. Вычислим радиус R вписанной окружности.

R = d1 * d2 : 4 * а = (6 * 18 : 3^1/2) : 4 * 6 = 4,5 : 3^1/2 см.

5. Найдем площадь S вписанной окружности.

S = П * R^2 = 3,14 * 4,5^2 : 3 = 3,14 * 20,25 : 3 = 21,2 см^2.

Ответ: Площадь вписанной окружности равна 21,2 квадратных сантиметров.