в равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. найдите основание треугольника, если медиана равна 3

Пусть АВС - данный треугольник (АВ = ВС = 4, АС - основание), АЕ - медиана, АЕ = 3.

Проведем медиану ВН (О - точка пересечения АЕ и ВН). Так как АВС - равнобедренный треугольник, ВН будет также и высотой.

По свойству медиан треугольника, АЕ и ВН пересекаются в отношении 2 к 1.

Значит, АО относится к ЕО как 2 к 1. Так как АЕ = 3, то АО = 2, ЕО = 1.

Обозначим отрезок ОН буквой х, тогда ВО будет равно 2 х.

Выразим АН из треугольника АОН (это прямоугольный треугольник, так как ВН перпендикулярна АС) по теореме Пифагора: АН² = AO² - OH² = 4 - x².

Выразим АН из треугольника АВН (это прямоугольный треугольник, так как ВН перпендикулярна АС) по теореме Пифагора: АН² = AВ² - ВH² = 16 - (3x) ² (ВН = ВО + ОН = 2 х + х = 3 х).

Приравниваем полученные выражения: 4 - x² = 16 - 9x².

9 х² - x² = 16 - 4; 8x² = 12; x² = 12/8 = 3/2.

Так как АН² = 4 - x², то АН² = 4 - 3/2 = 4 - 1,5 = 2,5 = 5/2.

Значит, АН = √ (5/2).

Следовательно, АС = 2 * АН = 2 * √ (5/2) = (2 * √5) / √2 = (2 * √5 * √2) / (√2 * √2) = (2 * √5 * √2) / 2 = √ (5 * 2) = √10.

Ответ: основание треугольника равно √10.