Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, если b5=-6, b7=-54.

Дано: (b_n) ... - геометрическая прогрессия;

b₅ = - 6; b₇ = - 54;

Найти: S₆ - ?

Формула члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^ (n - 1),

где b₁ - первый член геометрической прогрессии, q - её знаменатель, n - количество членов прогрессии.

С помощью этой формулы запишем пятый, шестой и седьмой члены заданной прогрессии:

b₅ = b₁ * q^ (5 - 1) = b₁ * q^4.

b₆ = b₁ * q^ (6 - 1) = b₁ * q^5;

b₇ = b₁ * q^ (7 - 1) = b₁ * q^6.

Т. о. имеем: b₁ * q^4 = - 6 и b₁ * q^6 = - 54.

Составим систему уравнений:

b₁ * q^4 = - 6, (1)

b₁ * q^6 = - 54 (2)

Из (1) уравнения выразим b₁:

b₁ = - 6 : q^4.

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

-6 : q^4 * q^6 = - 54;

-6 * q^2 = - 54;

q^2 = 9;

q = ±3.

Исходя из того, что b₅ и b₇ члены прогрессии отрицательные, можем сделать вывод, что q>0, т. е. q = 3.

Теперь, подставим полученное значение q в выражение для нахождения b₁:

b₁ = - 6 : q^4 = - 6 : 3^4 = - 6/81 = - 2/27.

Вычислим b₆: b₆ = b₁ * q^5 = - 2/27 * 3^5 = - 18.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = (b_n * q - b₁) / (q - 1);

Значит, S₆ = (b₆ * q - b₁) / (q - 1) = ((-18) * 3 - (-2/27)) / (3 - 1) = (-1456/27) / 2 = - 728/27 = - 26, (962).

Ответ: S₆ = - 26, (962).