Найдите корни биквадратного уравнения: а) х4-25 х2+144=0 б) у4+14 у2+48=0 в) х4-4 х2+4=0

Для решения биквадратного уравнения, приведем его к квадратному уравнению. Пусть y = x², тогда из исходного уравнения получим:

а) y² - 25y + 144 = 0,

D = b² - 4ac = 25² - 4 * 144 = 625 - 576 = 49,

y₁ = ( - b + √D) / 2 = (25 + 7) / 2 = 16,

y₂ = ( - b - √D) / 2 = (25 - 7) / 2 = 9.

Найдем корни биквадратного уравнения, помня, что y = x²:

x₁ = √y₁ = √16 = ± 4, x₂ = √y ₂ = √9 = ± 3.

Биквадратное уравнение имеет 4 корня: 4; - 4; 3; - 3.

б) Приведем уравнение к квадратному, сделав замену у² = x, и решим его:

x² + 14x + 48 = 0,

D = b² - 4ac = 196 - 192 = 4,

x₁ = ( - b + √D) / 2 = ( - 14 + √4) / 2 = - 12/2 = - 6,

x₂ = ( - b - √D) / 2 = ( - 14 - 2) / 2 = - 8.

Мы получили отрицательные корни квадратного уравнения, значит, исходное уравнение не имеет решений.

в) Сделаем замену на новую переменную y = x2, решим полученное квадратное уравнение:

y² - 4y + 4 = 0,

D = b² - 4ac = 16 - 16 = 0,

y = ( - b + √D) / 2 = (4 + √0) / 2 = 2.

Теперь найдем корни биквадратного уравнения. В этом случае их будет всего два.

x = √y = ± √2.