Пристани А и В расположены на реке, скорость течения которой на этом участке ровна 3 км/ч. Лодка проходит от А до В и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Обозначим собственную скорость лодки за х, тогда по течению лодка пойдет со скоростью (х + 3) км/ч, а против течения - со скоростью (х - 3) км/ч.

Средняя скорость равна: весь путь делить на все время: v_ср = S/t.

Обозначим путь между А и В за единицу, тогда путь от А до В и обратно равен 2.

Выразим время лодки по течению: 1 / (х + 3). Выразим время лодки против течения: 1 / (х - 3). Тогда все время от А до В и обратно равно 1 / (х + 3) + 1 / (х - 3).

Составляем уравнение: v_ср = 8, S = 2, t = 1 / (х + 3) + 1 / (х - 3).

2 / (1 / (х + 3) + 1 / (х - 3)) = 8.

Поделим уравнение на 2:

1 / (1 / (х + 3) + 1 / (х - 3)) = 4.

По правилу пропорции:

4 (1 / (х + 3) + 1 / (х - 3)) = 1;

4 / (х + 3) + 4 / (х - 3) = 1;

(4 х - 12 + 4 х + 12) / (х - 3) (х + 3) = 1;

8 х / (х² - 9) = 1;

х² - 9 = 8 х;

х² - 8 х - 9 = 0.

D = 64 + 36 = 100 (√D = 10);

х₁ = (8 - 10) / 2 = - 1 (не подходит).

х₂ = (8 + 10) / 2 = 18/2 = 9 (км/ч).

Ответ: собственная скорость лодки равна 9 км/ч.