Пристани A и B расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 4 км/ч. Лодка проходит от A до B и обратно без остановок со средней скоростью 6 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Пусть скорость лодки - v, а расстояние - S. Тогда скорость по течению - (v + 4), против течения - (v - 4).

Время затраченное на путь по течению:

t1 = S / (v + 4).

Время на путь против течения:

t1 = S / (v - 4).

Суммарное время на прохождение расстояния между пристанями в оба конца:

t1 + t2 = S / (v+4) + S / (v-4).

Это же время можно рассчитать и по средней скорости для расстояния 2S (туда и назад):

t = 2S/6;

t1 + t2 = t;

S / (v + 4) + S (v - 4) = 2S/6;

1 / (v + 4) + 1 / (v - 4) = 2/6;

(v - 4 + v + 4) / ((v + 4) (v - 4)) = 2/6;

2v * 6 = 2 (v^2 - 16)

6v = v^2 - 16

v^2 - 6v - 16 = 0

v = (6 + √ (36 + 64)) / 2 = (6 + 10) / 2 = 8.

Ответ: собственная скорость катера - 8 км/ч.