из равнобудренной трапеции с основаниями равными 13 и 31 см и боковой стороной 17 вырезали круг с радиусом r. Запишите формулу вырожающую зависимость площади полученно фигуры от переменной r. Укажите область оределения этой функции

Рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD, где

большее основание AD = 31 см,

меньшее основание BC = 13 см,

боковые стороны AB = CD = 17 см.

Опустим из вершины B высоту BH на большее основание AD.

Треугольник ABH - прямоугольный с прямым углом BHA.

Аналогично, опустим из вершины C высоту CM на большее основание AD.

Треугольник CDM - прямоугольный с прямым углом CMD.

Так как BH = CM, то треугольники ABH и CDM конгруэнтны по гипотенузе и катету и поэтому:

AH = MD.

Поэтому имеем, что большое основание AD:

AD = AH + HM + MD = AH + BC + MD = 2 * AH + 13 = 31 и

AH = 9.

Следовательно,

BH = √AB^2 - AH^2 = √17^2 - 9^2 = √208 = 4 * √13.

Площадь S1 трапеции ABCD:

S1 = (AD + BC) * BH / 2 = (31 + 13) * 4 * √13 / 2 = 88 * √13.

Площадь S фигуры после вырезания из трапеции круга с радиусом r:

S (r) = S1 - π * r^2 = 88 * √13 - π * r^2.

Так как площадь и радиус должны быть положительными, получаем область определения S (r):

88 * √13 - π * r^2 > 0, π * r^2 < 88 * √13, r^2 < 88 * √13 / π, |r| < √88 * √13 / π.

0 < r < √88 * √13 / π.