два токаря выполнили задание за 15 дней, причем второй токарь присоединился к первому через 7 дней после начала работы. Известно что первому токарю на выполнение всей работы потребовалось на 7 дней меньше, чем второму. За сколько дней мог выполнить работу каждый токарь, работая отдельно?

Пусть х - это количество дней, за которые первый токарь выполнит всю работу, тогда второй выполнит работу за (х + 7) дней.

Производительность = Работа: Время (работа = 1).

Производительность первого равна 1/х, то есть за 1 день он сможет выполнить 1/х часть всей работы. Производительность второго тогда равна 1 / (х + 7).

За 7 дней, когда первый токарь работал один, он выполнил (7 * 1/х) часть всей работы.

Так как работы была выполнена на 15 дней, они работали вместе 8 дней. Их общая производительность равна (1/х + 1 / (х + 7)), за 8 дней они выполнят 8 * (1/х + 1 / (х + 7)) часть работы.

Получается уравнение: (7 * 1/х) + 8 * (1/х + 1 / (х + 7)) = 1 (так как работа была выполнена в полном объеме).

7/х + 8 (1/х + 1 / (х + 7)) = 1.

7/х + 8/х + 8 / (х + 7) = 1.

15/х + 8 / (х + 7) = 1.

(15 х + 105 + 8 х) / х (х + 7) = 1.

(23 х + 105) / (х² + 7 х) = 1.

х² + 7 х = 23 х + 105.

х² - 16 х - 105 = 0.

D = 256 + 420 = 676 (√D = 26);

х₁ = (16 - 26) / 2 = - 5 (не подходит).

х₂ = (16 + 26) / 2 = 42/2 = 21 (день) - первый токарь выполнит всю работу.

21 + 7 = 28 (дней) - второй токарь выполнит всю работу.