Доказать что в выпуклом пятиугольнике найдутся два соседних угла сумма которых больше 180

Сумма углов выпуклого пятиугольника равна

180° * (5 - 2) = 180° * 3 = 540°.

Предположим сумма любых двух соседних углов пятиугольника меньше 180°.

Выберем любые 4 вершины пятиугольника.

По нашему предположению, сумма 4 углов при этих вершинах будет меньше, чем 180° * 2 = 360°.

Так как сумма всех углов равна 540°, а сумма четырёх углов меньше, чем 360°, то оставшийся пятый угол больше, чем

540° - 360° = 180°, т. е. является тупым. Но в выпуклом многоугольнике углы не могут быть тупыми. Получили противоречие, что и требовалось доказать.