Y = sin^4x + cos^4x Найти y^n - ?

Прежде чем найти производную n-го порядка, преобразуем данную функцию. Поскольку 2 * cos²α = 1 + cos (2 * α) и 2 * sin²α = 1 - cos (2 * α), то получим у = (sin²х) ² + (cos²α) ² = (0,5 * (1 - cos (2 * х)) ² + (0,5 * (1 + cos (2 * х)) ². Теперь воспользуемся формулами сокращенного умножения (a ± b) ² = a² ± 2 * a * b + b² (квадрат суммы и разности). Тогда у = 0,25 * (1 - 2 * cos (2 * х) + cos² (2 * х) + 1 + 2 * cos (2 * х) + cos² (2 * х)) = 0,5 * (1 + cos² (2 * х)). Ещё раз воспользуемся формулой 2 * cos²α = 1 + cos (2 * α). Имеем у = 0,5 * (1 + 0,5 * (1 + cos (2 * 2 * х))) = 0,5 + 0,25 + 0,25 * cos (4 * х) = 0,75 + 0,25 * cos (4 * х). Найдём первую производную. Поскольку (cosu) ꞌ = - sinu * uꞌ и (С * u) ꞌ = С * uꞌ (где С - постоянная), то получим уꞌ = (0,75 + 0,25 * cos (4 * х)) ꞌ = 0 + 0,25 * (cos (4 * х)) ꞌ = 0,25 * (-sin (4 * x)) * (4 * х) ꞌ = - 0,25 * 4 * sin (4 * x) = - sin (4 * x). Используя формулу приведения cos (π/2 + α) = - sinα, имеем уꞌ = cos (π/2 + 4 * х). Методом математической индукции докажем, что у⁽ⁿ⁾ = 4ⁿ ^{- 1} * cos (n * π/2 + 4 * х). Действительно, при n = 1, верность приведённого равенства доказана в предыдущем пункте. Допустим, что формула верна для n = k. Найдём у⁽^{k + 1)} = (у⁽^k⁾) ꞌ = (4^{k - 1} * cos (n * π/2 + 4 * х)) ꞌ = 4^{k - 1} * (cos (n * π/2 + 4 * х)) ꞌ = 4^{k - 1} * (-sin (k * π/2 + 4 * х)) * (k * π/2 + 4 * х) ꞌ = 4^{k - 1} * cos (π/2 + k * π/2 + 4 * х)) * (0 + 4 * хꞌ) = 4^{k - 1} * 4 * cos (π/2 + k * π/2 + 4 * х)) = 4⁽^{k - 1) + 1} * cos ((k + 1) * π/2 + 4 * х)). Что и требовалось доказать.

Ответ: у⁽ⁿ⁾ = 4ⁿ ^{- 1} * cos (n * π/2 + 4 * х).