log6 x = 1 - log6 (x-1) решить уравнение

Найдем ОДЗ:

lоg ₆ х = 1 - lоg ₆ (х - 1);

{х > 0;

{ х - 1 > 0;

{х > 0;

{х > 1;

х ∈ (1; + ∞);

Перенесем логарифм lоg ₆ (х - 1) в левую часть:

lоg ₆ х + lоg ₆ (х - 1) = 1;

Основания логарифмов равны, поэтому воспользуемся свойством произведения логарифма:

lоg ₆ х (х - 1) = 1;

Преобразуем числовой коэффициент справа в логарифм:

1 = log ₆ 6;

lоg ₆ х (х - 1) = log ₆ 6;

Из равенства основания логарифмов следует:

х (х - 1) = 6;

x² - x - 6 = 0;

Найдем корни:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 1) ² - 4 * 1 * ( - 6) = 1 + 24 = 25;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (1 - √25) / 2 * 1 = (1 - 5) / 2 = - 4 / 2 = - 2, не подходит по ОДЗ;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (1 + √25) / 2 * 1 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3;

Ответ: х = 3.