Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если а2=4, а3=7

Нам необходимо найти сумму пять первых членов геометрической прогрессии.

Рассмотрим теорию

Прогрессией в математике называют некоторую последовательность чисел, которая отвечает определенному закону, то есть которая образуется согласно некому правилу.

Геометрической прогрессией в математике, в свою очередь, называется такая последовательность в которой каждый последующий член начиная со второго получается умножением предыдущего на некую постоянную. Данную постоянную называют знаменателем геометрической прогрессии.

Для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии используют следующую формулу:

S_ⁿ = a₁ * (qⁿ - 1) / (q - 1)

в которой:

S_n - сумма n первых членов геометрической прогрессии; a₁ - первый член данной прогрессии; q - знаменатель геометрической прогрессии (постоянная); n - порядковый номер члена геометрической прогрессии.

Следовательно для решения поставленной задачи нам необходимо и достаточно воспользоваться данной формулой.

Найдем сумму первых пять членов прогрессии

Из условия задачи нам известно, что второй и третий члены данной геометрической прогрессии равняется:

a₂ = 4

a₃ = 7

Теперь нам необходимо найти разность прогрессии:

q = a_n-1 / a_n = a₃ / a₂ = 7 / 4

Теперь найдем первый член данной геометрической прогрессии:

a₁ = a_n / q^n-1 = a₂ / q = 4 / 7/4 = 4 * 4/7 = 16/7

Так как нам необходимо найти сумму первых пять членов, то есть S5, следовательно мы можем утверждать следующее:

n = 5

Таким образом мы получаем:

S₅ = 16/7 * ((7/4) ⁵ - 1) / (7/4 - 1) = 16/7 * (16807 / 1024 - 1) / 3/4 = 16/7 * 4/3 * 15783/1024 = 1/7 * 4/3 * 15783/64 = 1/7 * 5261/16 = 5261 / 112 = 46 109/112

Ответ: 46 109/112

Вспомним формулу для нахождения суммы первых n членов арифметической прогрессии (Sn):

Sn = n * (a1 + an) / 2, где n - количество складываемых членов прогрессии, a1 - первый член прогрессии, an - n-ый член прогрессии.

Значит, для того чтобы найти S5, необходимо знать а1 и а5.

Зная второй и третий члены арифметической прогрессии можно найти ее разность (d) по формуле:

d = an+1 - an.

Вычислим разность заданной прогрессии:

d = a3 - a2 = 7 - 4 = 3.

Найдем первый член прогрессии, выразив его значение из формулы d = an+1 - an.

an = an+1 - d.

a1 = a2 - d,

a1 = 4 - 3 = 1.

Найдем пятый член прогрессии.

Вспомним формулу для нахождения n-ого члена арифметической прогрессии (an):

an = a1 + (n - 1) * d, где n - порядковый номер искомого члена прогрессии, d - разность прогрессии.

a5 = 1 + (5 - 1) * 3 = 1 + 4 * 3 = 1 + 12 = 13.

Теперь вычислим сумму пяти первых членов заданной прогрессии:

S5 = 5 * (1 + 13) / 2 = 5 * 14 / 2 = 35.

Ответ: 35.