В возрастающей геометрической прогрессии сумма первых двух членов равна 4, а сумма первых трёх членов равна 13. Найти сумму первых пяти членов этой прогрессии

Дано: b_n - геометрическая прогрессия;

b₁ + b₂ = 4, b₁ + b₂ + b₃ = 13;

Найти: S₅ - ?

Формула члена геометрической прогрессии: b_n = b₁ * q^ (n - 1),

где b₁ - первый член геометрической прогрессии, q - её знаменатель, n - количество членов прогрессии.

Вычислим с помощью этой формулы второй, третий и пятый члены заданной прогрессии:

b₂ = b₁ * q^ (2 - 1) = b₁ * q;

b₃ = b₁ * q^ (3 - 1) = b₁ * q^2;

b₅ = b₁ * q^ (5 - 1) = b₁ * q^4.

Т. о. имеем:

b₁ + b₂ = 4; и b₁ + b₂ + b₃ = 13;

b₁ + b₁ * q = 4; b₁ + b₁ * q + b₁ * q^2 = 13;

b₁ (1 + q) = 4; b₁ (1 + q + q^2) = 13;

b₁ = 4 / (1 + q). b₁ = 13 / (1 + q + q^2).

Т. е. 4 / (1 + q) = 13 / (1 + q + q^2);

4 * (1 + q + q^2) = 13 * (1 + q);

4 + 4q + 4q^2 = 13 + 13q;

4q^2 - 9q - 9 = 0;

D = (-9) - 4 * 4 * (-9) = 225; sqrt (D) = sqrt (225) = 15;

q1 = (9 + 15) / 8 = 3;

q2 = (9 - 15) / 8 = - 0,75.

Т. к. из условия известно, что заданная прогрессия возрастающая, значит значение ее знаменателя так же есть положительное число (q = 3).

Вычислим значения: b₁ = 4 / (1 + q) = 4 / (1 + 3) = 1;

b₅ = b₁ * q^4 = 1 * 3^4 = 81.

Сумма первых n членов геометрической прогрессии находится по формуле:

S_n = (b_n * q - b₁) / (q - 1);

Т. о. S₅ = (b₅ * q - b₁) / (q - 1) = (81 * 3 - 1) / (3 - 1) = 121.

Ответ: S₅ = 121.