Найдите наибольшее значение функции y=2x^3-3x^2-12x+1 на отрезке [4; 5]

y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 - это кубическая функция, проверим имеет ли она максимумы и минимумы, для этого найдем производную и приравняв у нулю, найдем промежутки возрастания и убывания. Если они имеются.

y' = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 1) ' = 6x^2 - 6x - 12;

6x^2 - 6x - 12 = 0;

x^2 - x - 2 = 0;

D = b^2 - 4ac;

D = ( - 1) ^2 - 4 * 1 * ( - 2) = 1 + 8 = 9; √D = 3;

x = ( - b ± √D) / (2a);

x1 = (1 + 3) / 2 = 4/2 = 2;

x2 = (1 - 3) / 2 = - 2/2 = - 1

Точки с абсциссами ( - 1) и 2 - являются экстремумами, но ни одна из них не принадлежит промежутку [4; 5]. Значит наибольшее значение функции будет либо в точке 4, либо в точке 5.

y (4) = 2 * 4^3 - 3 * 4^2 - 12 * 4 + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 129 - 96 = 33

y (5) = 2 * 5^3 - 3 * 5^2 - 12 * 5 + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 251 - 135 = 116 - это наибольшее значение функции на интервале [4; 5].

Ответ. max [4; 5] y = у (5) = 116.