Интеграл x^2 * (2x^3+1) dx

Выпишем подынтегральное выражение:

x^2 * (2 * x^3 + 1) = 2 * х^5 + x^2.

Проинтегрируем каждый член отдельно 2 * х^5 и x^2.

Для 2 * х^5:

∫ 2 * х^5 dx = 2 ∫ x^5 dx.

Применим правило, что ∫ х^n = x^ (n + 1) / (n + 1). Поэтому:

∫ x^5 dx = х^ (5+1) / (5 + 1) = x^6 / 6.

В итоге:

∫ 2 * х^5 dx = 2 * (x^6 / 6) = x^6 / 3.

Для x^2:

∫ x^2 dx = х^ (2+1) / (2 + 1) = x^3 / 3.

В конечном итоге:

∫ (x^2 * (2 * x^3 + 1)) dx = x^6 / 3 + x^3 / 3 + C = x^3 / 3 * (x^3 + 1) + C, где С - const.

Ответ: ∫ (x^2 * (2 * x^3 + 1)) dx = x^3 / 3 * (x^3 + 1) + C.