Найти производную y=x²+1/²√x³-3

По условию задачи нам необходимо вычислить производную функции f (x) = (x² + 1) / (²√x³ - 3).

Правила и формулы для вычисления производной

Для вычисления нашей производной будем использовать следующие правила и основные формулы дифференцирования

(xⁿ) ' = n * x ^(n-1) . (√x) ' = 1 / 2√x. (с) ' = 0, где с - const. (с * u) ' = с * u', где с - const. (u ± v) ' = u' ± v'. (u / v) ' = (u'v - uv') / v². Вычисление производной

Найдём производную нашей данной функции: f (x) = (x² + 1) / (²√x³ - 3).

Эту функцию можно записать так: f (x) = (x² + 1) / (x ^{(3 / 2)} - 3).

Чтобы найти производную нашей данной функции будем использовать, основные формулы дифференцирования и правило дифференцирования, а запишем это так:

f (x) ' = ((x² + 1) / (x ^{(3 / 2)} - 3)) ' = ((x² + 1) ' * (x ^{(3 / 2)} - 3) - (x² + 1) * (x ^{(3 / 2)} - 3) ') / (x ^{(3 / 2)} - 3) ².

Для того чтобы вычислить нашу производную используем формулы дифференцирования и правила дифференцирования. Продифференцируем нашу данную функцию.

Вычислим производную поэтапно:

Вычислим производную от " (x² + 1) '": производная от "x²" - это будет "2 * 1 * x ^{(2 - 1)} = 2 * x¹ = 2 * x = 2x"; "1" - это const, то есть согласно правила дифференцирования "1" остается; следовательно, у нас получается, что (x² + 1) ' = (x²) ' + (1) ' = 2x + 0 = 2x. Вычислим производную от " (x ^{(3 / 2)} - 3) '": производная от "x ^{(3 / 2)} " - это будет " (3 / 2) * x⁽ ^{(3 / 2) - 1)} = (3 / 2) * x ^{(1 / 2)} = 3√x / 2"; "3" - это const, то есть согласно правила дифференцирования "3" остается; следовательно, у нас получается, что (x ^{(3 / 2)} - 3) ' = (x ^{(3 / 2)} ) ' - (3) ' = (3√x / 2) - 0 = 3√x / 2.

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

f (x) ' = ((x² + 1) / (x ^{(3 / 2)} - 3)) ' = ((x² + 1) ' * (x ^{(3 / 2)} - 3) - (x² + 1) * (x ^{(3 / 2)} - 3) ') / (x ^{(3 / 2)} - 3) ² =

(2x * (√x³ - 3) - (x² + 1) * (3√x / 2)) / (√x³ - 3) ² = (2x² - 6x - (3√x³ / 2) - (3√x / 2)) / (√x³ - 3) ².

Выходит, что наша производная данной функции будет выглядеть таким образом:

f (x) ' = (x) ' = ((x² + 1) / (x ^{(3 / 2)} - 3)) ' = ((x² + 1) ' * (x ^{(3 / 2)} - 3) - (x² + 1) * (x ^{(3 / 2)} - 3) ') / (x ^{(3 / 2)} - 3) ² = (2x² - 6x - (3√x³ / 2) - (3√x / 2)) / (√x³ - 3) ².

Ответ: Производная нашей данной функции будет равна f (x) ' = (2x² - 6x - (3√x³ / 2) - (3√x / 2)) / (√x³ - 3) ².

Найдём производную нашей данной функции: f (x) = (x^2 + 1) / (x^ (3 / 2) - 3).

Воспользовавшись основными формулами дифференцирования и правилами дифференцирования:

(x^n) ' = n * x^ (n-1).

(с) ' = 0, где с - const.

(с * u) ' = с * u', где с - const.

(u ± v) ' = u' ± v'.

(u / v) ' = (u'v - uv') / v².

Таким образом, производная нашей данной функции будет следующая:

f (x) ' = ((x^2 + 1) / (x^ (3 / 2) - 3)) ' = ((x^2 + 1) ' * (x^ (3 / 2) - 3) - (x^2 + 1) * (x^ (3 / 2) - 3) ') / (x^ (3 / 2) - 3) ^2 = ((x^2) ' + (1) ') * (x^ (3 / 2) - 3) - (x^2 + 1) * ((x^ (3 / 2)) ' - (1) ') / (x^ (3 / 2) - 3) ^2 = (2x + 0) * (x^ (3 / 2) - 3) - (x^2 + 1) * ((3 / 2) * x^ (1 / 2) - 0) / (x^ (3 / 2) - 3) ^2 = (2x^2 - 6x - (3x^ (3 / 2) / 2 + ((3x^ (1 / 2) / 2) / (x^ (3 / 2) - 3) ^2.

Ответ: Производная нашей данной функции будет равна f (x) ' = (2x^2 - 6x - (3x^ (3 / 2) / 2 + ((3x^ (1 / 2) / 2) / (x^ (3 / 2) - 3) ^2.