Число, меньшее 500, при делении на 2, 3, 4, 5 и 6 дает в остатке 1, а на 7 делится без остатка. Какое это число?

Если загаданное число делится на 7 без остатка, то это число кратно 7 или имеет вид 7*x.

Узнаем сколько чисел кратных 7-ми и меньших 500 есть на множестве натуральных чисел.

500 / 7 = 71, (428571) или 71 число.

Далее, искомое число вида 7*x не должно делится на 2, иначе это противоречило бы условию задания, что загаданное число при делении на 2 дает в остатке 1.

Также искомое число вида 7*x не должно делиться на 3, 4, 5, 6, по той же причине.

А раз число 7*x не может содержать в себе при разложении на произведение множителей чисел 2, 3, 4, 5 и 6, то это же относится к числу x, поскольку число 7 простое и оно не содержит указанных множителей.

Число x может изменятся от 1 до 71 включительно и при этом x не должен делиться на числа, 2, 3, 4, 5, 6.

Давайте составим множество подходящих чисел x согласно требованиям, которые указаны выше.

x принадлежит множеству {1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71}

Соответственно искомое число 7*x принадлежит множеству (7, 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203, 217, 259, 287, 301, 329, 343, 371, 413, 427, 469, 497).

Опр.: признак делимости на 5 - число делится на 5, если оно заканчивается цифрой 5 или 0.

Следовательно, если искомое число при делении на 5 дает остаток 1, то оно должно заканчиваться на 6 или на 1.

При этом учтем, что если искомое число оканчивается на 6, то оно делится на 2 без остатка, поэтому нам подойдут только числа, которые оканчиваются на цифру "1".

Опять сужаем область поиска искомого числа путем исключения из множества всех чисел, которые не заканчиваются цифрой 1.

Получается искомое число 7*x принадлежит множеству (91, 161, 301, 371).

91 при делении на 4 дает остаток 3, то есть не подходит по условию задачи.

161 при делении на 3 дает остаток 2, то есть тоже не подходит по условию задачи.

371 при делении на 3 дает остаток 2, то есть тоже не подходит по условию задачи.

Остается только число 301, которое подходит под условие задачи.

Ответ: 301.