1. Определите абсциссы точек пересечения графиков функций y=x2 - 2 х и у=-x2 + 2 х 2. Сколько точек пересечений имеют графики функций у = х2 + 4 х + 4 и у = - х2 - 2 х + 1

1.

Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков, достаточно понимать, что в точке пересечения х и у графиков совпадают. Следовательно можно уравнять графики и найти необходимый корень х. Задачи найти у не ставится:

х² - 2 * х = - х² + 2 * х;

х² - 2 * х + х² - 2 * х = 0;

2 * х² - 4 * х = 0;

2 * х * (х - 2) = 0;

Уравняем оба множителя нулю, так как в произведении равном нулю, минимум один из множителей ноль:

2 * х = 0;

х = 0;

х - 2 = 0;

х = 2.

Ответ: 2 точки пересечения графиков с абсциссами х = 0 и х = 2.

2.

Для нахождения точек пересечения следует решить систему уравнений:

у = х² + 4 * х + 4;

у = - х² - 2 * х + 1;

х² + 4 * х + 4 = - х² - 2 * х + 1;

х² + 4 * х + 4 + х² + 2 * х - 1 = 0;

2 * х² + 6 * х + 3 = 0;

Уравнение приведено к виду:

a * x² + b * x + c = 0;

Где а = 2; b = 6; с = 3, и может иметь 2 корня, если дискриминант больше нуля. Найдем дискриминант:

D = b² - 4 * a * c = (6) ² - 4 * 2 * 3 = 36 - 24 = 12 > 0.

Следовательно уравнение имеет 2 корня и значит точек пересечения графиков 2.

Найдем их абсциссы, которые являются корнями квадратного уравнения:

х₁ = (-b - √‾D) / (2 * a) = (-6 - √‾12) / (2 * 2) = (-6 - √‾ (4 * 3)) / 4 = (-6 - 2 * √‾3) / 4 = - 1,5 - 0,5 * √‾3 ≈ - 1,5 - 0,866 = - 2,366;

х₂ = ( - b + √‾D) / (2 * a) = (-6 + √‾12) / (2 * 2) = (-6 + √‾ (4 * 3)) / 4 = (-6 + 2 * √‾3) / 4 = - 1,5 + 0,5 * √‾3 ≈ - 1,5 + 0,866 = - 0,634.

Найдем соответствующие корням ординаты:

х₁ = - 1,5 - 0,5 * √‾3;

у₁ = - х² - 2 * х + 1 = - (-1,5 - 0,5 * √‾3) ² - 2 * (-1,5 - 0,5 * √‾3) + 1 = - (2,25 + 2 * 1,5 * 0,5 * √‾3 + 0,25 * 3) + 3 + √‾3 + 1 = - (2,25 + 0,75 + 1,5 * √‾3) + 4 + √‾3 = - 3 - 1,5 * √‾3 + 4 + √‾3 = 1 - 0,5 * √‾3 ≈ 1 - 0,5 * 1,7321 = 1 - 0,86605 = 0,13395;

х₂ = - 1,5 + 0,5 * √‾3;

у₂ = - х² - 2 * х + 1 = - (-1,5 + 0,5 * √‾3) ² - 2 * (-1,5 + 0,5 * √‾3) + 1 = - (2,25 - 1,5 * 0,5 * √‾3 + 0,75) + 3 - √‾3 + 1 = - (3 - 1,5 * √‾3) + 4 - √‾3 = - 3 + 1,5 * √‾3 + 4 - √‾3 = 1 - 0,5 * √‾3 ≈ 1 - 0,5 * 1,7321 = 1 - 0,86605 = 0,13395;

Таким образом получены 2 точки пересечения, определяемые координатами:

(-1,5 - 0,5 * √‾3; 1 - 0,5 * √‾3) и (-1,5 + 0,5 * √‾3; 1 - 0,5 * √‾3),

Что примерно соответствует точками:

(-2,366; 0,13395) и (-0,634; 0,13395).