Решите уравнение (х²-х+1) ²-10 (х-4) (х+3) - 109 = 0. В ответе укажите сумму его корней.

Раскроем только скобки (х - 4) (х + 3):

(х - 4) (х + 3) = х² - 4 х + 3 х - 12 = х² - х - 12.

Получилось уравнение:

(х² - х + 1) ² - 10 (х² - х - 12) - 109 = 0.

Введем новую переменную, пусть х² - х = а.

(а + 1) ² - 10 (а - 12) - 109 = 0.

Раскрываем скобки, подводим подобные слагаемые:

а² + 2 а + 1 - 10 а + 120 - 109 = 0.

а² - 8 а + 12 = 0.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-8) ² - 4 * 1 * 12 = 64 - 48 = 16 (√D = 4);

a₁ = (8 - 4) / 2 = 2;

a₂ = (8 + 4) / 2 = 6.

Возвращаемся к замене х² - х = а. Получаются два квадратных уравнения, решаем через дискриминант.

1) а = 2; х² - х = 2; х² - х - 2 = 0.

D = (-1) ² - 4 * 1 * (-2) = 1 + 8 = 9 (√D = 3).

x₁ = (1 - 3) / 2 = - 1.

х₂ = (1 + 3) / 2 = 2.

2) а = 6; х² - х = 6; х² - х - 6 = 0.

D = (-1) ² - 4 * 1 * (-6) = 1 + 24 = 25 (√D = 5).

x₁ = (1 - 5) / 2 = - 2.

x₂ = (1 + 5) / 2 = 3.

Ответ: - 1, - 2, 2 и 3.