Решите уравнение x^5+x^4-x^3-x^2-6x-6=0

Нам нужно решить уравнение, в котором переменная находится в пятой степени x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x - 6 = 0.

Составим алгоритм решения уравнения сгруппируем попарно первое со вторым, третье с четвертым и пятое с шестым слагаемые; в каждой паре вынесем общий множитель за скобки; представим выражение в левой части уравнения в виде произведения; перейдем к решению двух уравнений; решим каждое из полученных уравнений. Представим левую часть уравнения в виде произведения

Итак, сгруппируем парами слагаемые в левой части уравнения, получим:

x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x - 6 = 0;

(x^5 + x^4) - (x^3 + x^2) - (6x + 6) = 0;

Вынесем из первой скобки x^4, из второй - x^2, из третьей 6.

x^4 (x + 1) - x^2 (x + 1) - 6 (x + 1) = 0.

Представим в виде произведение выражения в левой части уравнения, вынеся за скобки (х + 1):

(х + 1) (x^4 - x^2 - 6) = 0;

Переходим к решению двух уравнений

В правой части уравнения стоит ноль, а в левой произведение двух скобок.

Чтобы найти все решения уравнения, переходим к решению двух уравнений:

1) х + 1 = 0;

х = - 1.

2) x^4 - x^2 - 6 = 0;

Решаем биквадратное уравнение. Введем замену. Пусть x^2 = t, тогда:

t^2 - t - 6 = 0;

Ищем дискриминант для данного уравнения:

D = b^2 - 4ac = ( - 1) ^2 - 4 * 1 * ( - 6) = 1 + 24 = 25.

t1 = ( - b + √D) / 2a = (1 + 5) / 2 * 1 = 6/2 = 3;

t2 = ( - b - √D) / 2a = (1 - 5) / 2 * 1 = - 4/2 = - 2.

Возвращаемся к замене:

1) x^2 = 3;

Извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения:

х1 = √3; х2 = - √3.

2) x^2 = - 2 - уравнение не имеет решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным числом.

Ответ: х = - 1; х = √3; х = - √3.

Сгруппируем первое неизвестное со вторым, третье с четвертым и пятое с шестым, вынесем общие множители:

x^5 + x^4 - x^3 - x^2 - 6x - 6 = 0;

x^4 (x+1) - x^2 (x + 1) - 6 (x + 1) = 0, вынесем общий множитель х + 1 за скобки:

(х + 1) (x^4 - x^2 - 6) = 0;

1) х + 1 = 0, х = - 1;

2) x^4 - x^2 - 6 = 0 - биквадратное уравнение, сделаем замену: x^2 = t:

t^2 - t - 6 = 0;

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = (-1) ^2 - 4 * 1 * ( - 6) = 1 + 24 = 25;

Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:

t1 = (1 - √25) / 2 * 1 = (1 - 5) / 2 = - 4 / 2 = - 2;

t2 = (1 + √25) / 2 * 1 = (1 + 5) / 2 = 6 / 2 = 3;

Обратная замена x^2 = - 2 - нет решений;

x^2 = 3, x = √3; - √3.

Ответ: - 1, √3, - √3.