Разложить на множители и решить по теореме виета: 1) х³+4 х²-21 х 2) х³-9 х²-22 х

Теорема Виета

Теорему Виета применяют к уравнениям вида ax^2 + bx + c = 0.

Ключевые пункты теоремы Виета следующие:

решаемое является приведенным (а = 1); сумма корней х1 + х2 равна второму коэффициенту b, взятому с противоположным знаком х1 + х2 = - b; произведение корней х1 * х2 равно свободному члену c: х1 * х2 = c.

Квадратное уравнение можно представить в виде произведения разностей переменной х и корней этого уравнения:

x^2 + bx + c = (х - х1) * (х - х2) = 0.

Решение первого уравнения

х^3 + 4 х^2 - 21 х.

Вынесем общий множитель за скобки х * (х^2 + 4 х - 21).

Приравняем второй множитель нулю и решим приведенное квадратное уравнение, используя теорему Виета:

х^2 + 4 х - 21 = 0;

сумма корней уравнения х1 + х2 = - 4;

произведение корней х1 * х2 = - 21;

корни х1 = - 3 и х2 = 7.

Представим решенное квадратное уравнение в виде произведения:

(х + 3) * (х - 7) = 0.

Запишем заданный многочлен в виде произведения:

х^3 + 4 х^2 - 21 х = х * (х + 3) * (х - 7).

Решение второго уравнения

х^3 - 9 х^2 - 22 х.

Аналогично первому:

х * (х^2 - 9 х - 22);

х^2 - 9 х - 22 = 0;

х1 + х2 = 9;

х1 * х2 = - 22c;

х1 = - 11;

х2 = 2;

(х + 11) * (х - 2) = 0;

Итак, х^3 - 9 х^2 - 22 х = х * (х + 11) * (х - 2).

Ответ

1) х^3 + 4 х^2 - 21 х = х * (х + 3) * (х - 7);

2) х^3 - 9 х^2 - 22 х = х * (х + 11) * (х - 2).

Теорема Виета для решения (x1; x2) квадратного уравнения типа ax^2 + bx + c = 0, имеет вид: x1 * x2 = c/a, x1 + x2 = - b/a, применим теорему к нашим уравнениям:

1) х^3 + 4 х^2 - 21 х = 0, x (x^2 + 4x - 21) = 0

x1 * x2 = - 21/1 = - 21;

x1 + x2 = - 4/1 = - 4, подбираем вместо (x1; x2) такие числа, чтобы они удовлетворяли оба наших равенства, видим что x1 = 3, а x2 = - 7, разложим на множители и решим уравнение:

x (x - 3) (x + 7) = 0, x1 = 0; x - 3 = 0, x2 = 3; x + 7 = 0, x3 = - 7;

2) х^3 - 9 х^2 - 22 х = 0, x (х^2 - 9 х - 22) = 0;

x1 * x2 = - 22;

x1 + x2 = 9, x1 = 11, а x2 = - 2;

x (x - 11) (x + 2) = 0, x1 = 0; x - 11 = 0, x2 = 11; x + 2 = 0, x3 = - 2;