1. представьте выражение в виде произведение а) 16 у²-25 б) х²+10 х+25 в) х³+27 2. разложите многочлен на мнодители а) х³-16 х б) - 6 а²-12 аб-6 б² в) 72 х²-2 у² 3. разложите многочлен на множители а) b⁴+2b³-b-2 b) x²-xy-7x+7y в) а²b+a+ab²+b+2a+2b 4. докажите что выражение y²-6y+12 может принимать лишь положительные значение

1. а) Представим двучлен в виде разности квадратов и разложим на множители по формуле разности квадратов а² - b² = (а - b) (а + b).

16 у² - 25 = (4 у) ² - 5² = (4 у - 5) (4 у + 5).

б) Свернем многочлен по формуле квадрата суммы a² + 2ab + b² = (а + b) ².

х² + 10 х + 25 = x² + 2 * x * 5 + 5² = (x + 5) ² = (x + 5) (x + 5).

в) Свернем по формуле суммы кубов a³ + b³ = (a + b) (a² - ab + b²).

х³ + 27 = х³ + 3³ = (х + 3) (х² - 3x + 9).

2. а) Вынесем х за скобку:

х³ - 16 х = х (х² - 16).

Скобку разложим по формуле разности квадратов.

х (х² - 16) = х (х² - 4²) = х (х - 4) (х + 4).

б) Вынесем (-6) за скобку.

-6 а² - 12 аb - 6b² = - 6 (a² + 2ab + b²).

Свернем скобку по формуле квадрата суммы.

-6 (a² + 2ab + b²) = - 6 (a + b) ².

в) Вынесем 2 за скобку.

72 х² - 2 у² = 2 (36 х² - у²).

Разложим скобку по формуле разности квадратов.

2 (36 х² - у²) = 2 ((6 х) ² - у²) = 2 (6 х - у) (6 х + у).

3. а) Вынесем за скобку общие множители: у первой пары b³, у второй пары (-1).

b⁴ + 2b³ - b - 2 = b³ (b + 2) - (b + 2) = (b³ - 1) (b + 2).

б) Вынесем за скобку общие множители: у первой пары х, у второй пары (-7).

x² - xy - 7x + 7y = х (х - у) - 7 (х - у) = (х - 7) (х - у).

в) а²b + a + ab² + b + 2a + 2b = а²b + ab² + a + b + 2a + 2b.

Вынесем за скобку общие множители: у первой пары ab, у третьей пары 2.

а²b + ab² + a + b + 2a + 2b = аb (a + b) + (a + b) + 2 (a + b) = (ab + 1 + 2) (a + b) = (ab + 3) (a + b).

4. Рассмотрим функцию y² - 6y + 12, это квадратичная парабола, ветви вверх.

D = 36 - 48 = - 12 (нет корней). То есть нет точек пересечения с осью х, парабола находится над осью х (так как ветви вверх), значит, данное выражение положительно при любом значении х.