Известно, что число - 1 является одним из корней уровнения х^3-x^2+ax-2=0. Найдите остальные корни уравнения

Т. к. х = - 1 является корнем уравнения х³ - x² + ax - 2 = 0, то при подстановке этого значения в уравнение получим верное равенство:

(-1) ³ - (-1) ² - а - 2 = 0,

-1 - 1 - а - 2 = 0,

-4 - а = 0,

а = - 4.

Подставим а = - 4 в уравнение:

х³ - x² - 4x - 2 = 0.

Т. к. один из корней уравнения х = - 1, то при разложении на множители одним из множителей будет (х + 1), т. е при разложении на множители получим:

х³ - x² - 4x - 2 = (х + 1) (kx² + bx + c), где k, b и с - числа.

Чтобы найти эти числа, раскроем скобки:

(х + 1) (kx² + bx + c) = kx³ + bx² + cх + kx² + bx + c = kx³ + (b + k) x² + (b + c) x + c.

Т. к. kx³ + (b + k) x² + (b + c) x + c = х³ - x² - 4x - 2, поэтому приравняем коэффициенты при переменных:

х³: k = 1;

х²: b + k = - 1;

x¹: b + c = - 4;

х⁰: с = - 2.

Получим: k = 1, с = - 2, b = - 2.

Разложение на множители примет вид:

х³ - x² - 4x - 2 = (х + 1) (x² - 2x - 2).

(х + 1) (x² - 2x - 2) = 0.

Найдем корни уравнения x² - 2x - 2 = 0:

дискриминант D = 4 + 2 * 2 = 8.

х₁ = (2 + √8) / 2 = (2 + 2√2) / 2 = 1 + √2.

х₂ = (2 - √8) / 2 = (2 - 2√2) / 2 = 1 - √2.

Таким образом, уравнение х³ - x² - 4x - 2 = 0 имеет три корня: - 1; 1 + √2; 1 - √2.

Ответ: 1 + √2; 1 - √2.