Y = 2√x - x, [0,4] найти наибольшиеи наименьшее значения функции на заданных отрезнах

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции y = у (х) = 2 * √ (x) - x на отрезке [0; 4], заметим, что её областью определения является множество [0; + ∞). Эта функция непрерывна и дифференцируема для любого х ∈ (0; + ∞). Сначала вычислим значение функции на концах отрезка [0; 4]. Имеем: у (0) = 2 * √ (0) - 0 = 2 * 0 - 0 = 0 - 0 = 0 и у (4) = 2 * √ (4) - 4 = 2 * 2 - 4 = 4 - 4 = 0. Для того, чтобы исследовать данную функцию на экстремум найдём её производную уꞌ (х) = (2 * √ (x) - x) ꞌ = (2 * х^½) ꞌ - хꞌ = 2 * (½) * х^{½ - 1} - 1 = 1 / (х^½) - 1 = 1 / √ (x) - 1. Приравнивая производную к нулю, решим уравнение 1 / √ (x) - 1 = 0. Левую и правую части этого уравнения умножим на √ (x). Тогда, получим: √ (x) = 1, откуда х = 1. Производная функции имеет значения: уꞌ (0,81) = 1 / √ (0,81) - 1 = 1 / (0,9) - 1 = 10/9 - 1 = 1/9 > 0 и уꞌ (1,21) = 1 / √ (1,21) - 1 = 1 / (1,1) - 1 = 10/11 - 1 = - 1/11 < 0. Поскольку знак производной уꞌ (х) при переходе через точку х = 1 меняет знак с "+" на "-", то данная функция у (х) = 2 * √ (x) - x на этой точке х = 1 достигает своего максимального значения и это значение у_max равно у_max = у (1) = 2 * √ (1) - 1 = 2 * 1 - 1 = 2 - 1 = 1. Таким образом, наибольшее значение у_max данной функции равно у_max = 1, а наименьшее значение у_min данная функция принимает на границах отрезка [0; 4] и оно равно у_min = 1.