Ctg х = 1/3 Найти: sin 4x

Из формулы синуса двойного аргумента имеем:

sin 4x = 2sin2 х * cos2 х = 4sinхcosх (cos²х - sin²х) (1).

Если сtg х = 1/3, то tg х = 3 и сtg х = cosх/sinх, tg х = sinх/cosх.

Значения sinх и cosх определяем через tgx и ctgx, известно, что:

tg²x + 1 = 1/cos²x → cos²x = 1 / (tg²x + 1) = 1 / (9 + 1)) = 1/10,→ cosx = √1/10.

ctg²x + 1 = 1/sin²x → sin²x = 1 / (ctg²x + 1)) = 9/10 → sinx = √9/10.

Теперь подставляем найденные значения в (1).

sin 4x = 4sinхcosх (cos²х - sin²х) = 4 * √1/10 * √9/10 * (1/10 - 9/10) = 4 * 3/10 * (-8/10) =

= - 96/100 = - 0,96.

Ответ: sin 4x = - 0,96.