1. Сумма трех чисел, образующих арифметичекскую прогрессию, равна 12, а сумма их квадратов равна 80. Найдите эти числа. 2. Пусть Sn - сумма n первых членов арифметической прогрессии (an). Найдите первый член и разность прогрессии, если: a3+a5+a8=18 и a2+a4=-2

Пусть а₁ и d есть данная арифметическая прогрессия, а₁ первое из трёх искомых чисел.

Тогда два других числа будут равны:

а₂ = a₁ + d;

а₃ = a₁ + 2 d;

Сложим все три числа:

S₃ = 3 a₁ + 3 d = 12;

a₁ + d = 4.

а₁ = 4 - d;

Найдём квадраты этих чисел:

а₂² = a₁² + 2 a₁ d + d²;

а₃² = a₁² + 4 a₁ d + 4 d²;

Сложим все три квадрата:

S_кв. = 3 a₁² + 6 a₁ d + 5d² = 80;

Подставим в это уравнение значение а₁:

3 (4 - d) ² + 6 (4 - d) d + 5d² = 80;

2 d² + 48 = 80;

d² = 16;

d₁ = 4; a₁ = 0; a₂ = 4; a₃ = 8.

d₂ = - 4; a₁ = 8; a₂ = 4; a₃ = 0.

Общий член арифметической прогрессии a_n = a₁ + d (n - 1).

Развернём суммы:

1) a₃ + a₅ + a₈ = (a₁ + 2 d) + (a₁ + 4 d) + (a₁ + 7 d) = 18;

3 a₁ + 13 d = 18.

2) a₂ + a₄ = (a₁ + d) + (a₁ + 3 d) = - 2;

2 a₁ + 4 d = - 2;

a₁ + 2 d = - 1.

a₁ = - 2 d - 1.

Подставим это значение в первое уравнение:

3 ( - 2 d - 1) + 13 d = 18.

7 d = 21;

d = 3;

a₁ = - 7.