геометрическая прогрессия состоит из 12 членов. умма первых четырех членов равна 1440, а сумма следующих четырех членов равна 90. найти сумму последних четырех членов этой прогрессии

Дана геометрическая прогрессия, состоящая из 12 членов, общий (n-й член) которой обозначим через b_n. Известно, что сумма первых четырех членов (которую обозначим через S₄) равна 1440, то есть, S₄ = 1440. Кроме того, известна сумма следующих четырех членов, которая равна 90, то есть, S₈ - S₄ = 90. По требованию задания, вычислим сумму её последних четырех членов, то есть, b₉ + b₁₀ + b₁₁ + b₁₂. Поскольку S₈ - S₄ = 90 и S₄ = 1440, то имеем. S₈ = S₄ + 90 = 1440 + 90 = 1530. Воспользуемся формулой S_n = b₁ * (1 - qⁿ) / (1 - q), q ≠ 1, дважды. Тогда, получим: b₁ * (1 - q⁴) / (1 - q) = 1440 и b₁ * (1 - q⁸) / (1 - q) = 1530. Эти равенства позволяют написать следующее равенство (b₁ * (1 - q⁸) / (1 - q)) : (b₁ * (1 - q⁴) / (1 - q)) = 1530 : 1440 или (1 - q⁸) : (1 - q⁴) = 17 : 16. Применяя к левой части последнего равенства формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов), имеем: (1 - q⁸) : (1 - q⁴) = (1 - (q⁴) ²) : (1 - q⁴) = ((1 - q⁴) * (1 + q⁴)) : (1 - q⁴) = 1 + q⁴. Следовательно, 1 + q⁴ = 17/16 или q⁴ = 17/16 - 1 = (17 - 16) / 16 = 1/16 = (½) ⁴, откуда q = ½. Используя формулу из п. 2 ещё раз, получим: b₁ * (1 - q⁴) / (1 - q) = 1440 или b₁ * (1 - (½) ⁴) / (1 - ½) = 1440, откуда b₁ = 1440 : ((1 - 1/16) / ½) = 1440 : (2 * (16 - 1) / 16) = 1440 : (15/8) = 1440 * 8 / 15 = 768. Воспользуемся формулой b_n = b₁ * q^{n - 1}. Тогда, b₉ = b₁ * q^{9 - 1} = 768 * (½) ⁸ = 3 * 2⁸ / 2⁸ = 3. Тогда, согласно определения геометрической прогрессии, b₁₀ = b₉ * q = 3 * (½) = 1,5; b₁₁ = b₁₀ * q = 1,5 * (½) = 0,75; b₁₂ = b₁₁ * q = 0,75 * (½) = 0,375. Следовательно, искомая сумма равна b₉ + b₁₀ + b₁₁ + b₁₂ = 3 + 1,5 + 0,75 + 0,375 = 5,625.

Ответ: 5,625.