Какими должны быть остатки при делении на 9 каждого слагаемого суммы двух чисел, чтобы она была кратна числу 9

Допустим, что даны два числа А и В.

Число А при делении на 9 даёт остаток Х и результат к, значит число А можно записать следующим образом:

(А - Х) : 9 = к,

А = 9 * к + Х.

Число В при делении на 9 даёт остаток У и результат м, тогда его можно записать так:

В = 9 * м + У.

Тогда сумма А и В будет иметь вид:

А + В = 9 * к + Х + 9 * м + У,

А + В = 9 * (к + м) + (Х + У).

Очевидно, чтобы (А + В) делилось на 9, сумма (Х + У) должна делиться на 9.

Так как и Х, и У являются остатками от деления на 9, значит каждое из этих чисел меньше 9.

Возможны 4 варианта таких остатков: 1 и 8, 2 и 7, 3 и 6, 4 и 5.

Выразим каждое слагаемое через переменные

Пусть первое слагаемое при делении на девять дает частное A и остаток X.

Тогда первое слагаемое равно 9A + X.

Поскольку X - это остаток от деления на девять, для него существуют ограничения: 0 ⩽ X ⩽ 8.

Пусть второе слагаемое при делении на девять дает частное B и остаток Y.

Тогда второе слагаемое равно 9B + Y.

Поскольку Y - это остаток от деления на девять, для него существуют ограничения: 0 ⩽ Y ⩽ 8.

Рассмотрим сумму двух слагаемых

Найдем сумму наших слагаемых.

(9A + X) + (9B + Y) = 9A + X + 9B + Y = 9 * (A + B) + (X + Y)

Всё это выражение делится нацело на девять, так как по условию задачи сумма двух слагаемых должна быть кратна девяти.

Также очевидно, что 9 * (A + B) делится на девять, ведь A и B - это целые числа.

Следовательно, X + Y тоже делится нацело на девять.

Рассмотрим выражение X + Y

Ранее мы указывали, что для чисел X и Y существуют ограничения.

0 ⩽ X ⩽ 8

0 ⩽ Y ⩽ 8

Сложим эти два двойных неравенства.

0 ⩽ X + Y ⩽ 16

Итак, (X + Y) - это целое число от нуля до шестнадцати, которое делится на девять. Есть только два числа, которые соответствуют этим условиям: ноль и девять.

Пусть X + Y = 0. Тогда X = 0 и Y = 0. Это тот случай, когда каждое из слагаемых делится на девять без остатка.

Пусть X + Y = 9. Нам нужно найти все пары целых чисел от нуля до восьми, которые дают в сумме девять:

один и восемь; два и семь; три и шесть; четыре и пять.

Ответ: ноль и ноль; один и восемь; два и семь; три и шесть; четыре и пять.