Решить систему X^2+y^2=37 Xy=6

Выразим у через х и подставим в первое уравнение:

х * у = 6;

у = 6 / х;

х² + у² = 37;

х² + (6/х) ² = 37;

х² + 36/х² = 37;

(х⁴ + 36) / х² = 37;

х⁴ + 36 = 37 * х²;

х⁴ - 37 * х² + 36 = 0;

Фактически имеем дело с квадратным уравнением, где переменная равна х², можно было бы решать через дискриминант, но в данном случае удобнее расписать уравнение на множители:

х⁴ + ( - 36 - 1) * х² + (-1 * - 36) = 0;

(х² - 36) * (х² - 1) = 0;

Получили произведение двух разниц квадратов:

(х² - 6²) * (х² - 1²) = 0;

(х - 6) * (х + 6) * (х - 1) * (х + 1) = 0;

Если хотя бы один из множителей равен нулю, то все произведение равно нулю. Так как множителей всего 4, то приравняв их нулю, получим 4 корня, а к найденному х сразу найдем пару - значение у:

1.

х - 6 = 0;

х = 6;

у = 6 / х = 6/6 = 1;

2.

х + 6 = 0;

х = - 6;

у = 6 / х = 6 / - 6 = - 1;

3.

х - 1 = 0;

х = 1;

у = 6 / х = 6/1 = 6;

4.

х + 1 = 0;

х = - 1;

у = 6 / х = 6 / - 1 = - 6.