Найдите первый член геометрической прогрессии, если q=3/4, S4=350

Дано: (b_n) - геометрическая прогрессия;

S₄ = 350; q = 3/4;

Найти: b₁ -?

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии:

S_n = (b_n * q - b₁) / (q - 1), т. е. S₄ = (b₄ * q - b₁) / (q - 1).

Т. е. (b₄ * 3/4 - b₁) / (3/4 - 1) = 350;

(b₄ * 3/4 - b₁) / (-1/4) = 350;

b₄ * 3/4 - b₁ = - 87,5. (1)

Формула n-го члена геометрической прогрессии:

b_n = b₁ * q^ (n - 1),

где b₁ - первый член прогрессии, q - её знаменатель, n - количество членов;

Согласно этой формуле выразим четвертый член заданной прогрессии:

b₄ = b₁ * q^ (4 - 1) = b₁ * q^3 = b₁ * (3/4) ^3 = 27b₁ / 64. (2)

Из выражений (1) и (2) составим систему уравнений:

b₄ * 3/4 - b₁ = - 87,5, (1)

b₄ = 27b₁ / 64 (2)

Решим данную систему, подставив (2) уравнение в (1):

(27b₁ / 64) * 3/4 - b₁ = - 87,5;

81b₁ / 256 - b₁ = - 87,5;

(81b₁ - 256b₁) / 256 = - 87,5;

-175b₁ = - 22400;

b₁ = 128.

Подставив полученное значение b ₁ во (2) уравнение системы, найдём b ₄ = 27b ₁ / 64 = 27 * 128 : 64 = 54.

Ответ: b₁ = 128.