Представить число 12 в виде суммы двух положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. (Решить с помощью производной)

Пусть х и y - искомые положительные слагаемые.

12 = x + y;

y = 12 - x;

требуется найти максимум функции:

f (x) = x (12 - x) = 12x - x^2;

Для нахождения максимума продифференцируем функцию f (x) и приравняем результат нулю.

f' (x) = 12 - 2x;

12 - 2x = 0;

x = 6; y = 12 - x = 6;

Это максимум функции, так как при x = 5 < 6 f' (x) = 2;

а при x = 7 < f' (x) = - 2, и производная в точке х = 6 меняет знак с плюса на минус.

Ответ: 12 = 6 + 6.