2sin²x+sinxcosx=2cos²x Решить уравнение

Решим уравнение:

2*sin²x + sinx*cosx = 2*cos²x.

Для решения уравнения перенесем его правую часть, включающую член 2*cos²x, в левую часть:

2*sin²x + sinx*cosx - 2*cos²x = 0.

Разделим левую и правую части уравнения на величину cos²x ≠ 0:

2*sin²x + sinx*cosx - 2*cos²x = 0 | : cos²x ≠ 0.

Получим:

2*tg²x + tgx - 2 = 0.

Произведем замену: tgx = z, получим квадратное уравение:

2*z² + z - 2 = 0.

Найдем дискриминант:

D = b^2 - 4ac,

D = 1^2 - 4*2 * (-2) = 1+16 = 17>0.

Вычислим корни квадратного уравнения:

z (1, 2) = (-b ± √D) / (2*a),

z1 = (-1 + √17) / 4, z2 = (-1 - √17) / 4.

Произведем обратную замену: z = tgx, имеем:

tgx = (-1 + √17) / 4 ⇒ x1 = arctg ((-1 + √17) / 4) + πn, n∈Z

или

tgx = (-1 - √17) / 4 ⇒ x2 = arctg ((-1 - √17) / 4) + πn, n∈Z,

x2 = - arctg ((1 + √17) / 4) + πn, n∈Z.

Ответ. x1 = arctg ((-1 + √17) / 4) + πn, n∈Z; x2 = - arctg ((1 + √17) / 4) + πn, n∈Z.