доказать что для любого числа t выполняется неравенство t^4-t+1/2>0

Рассмотрим функцию y = t^4 - t + 1, найдем ее производную:

y' = (t^4 - t + 1) ' = 4x^3 - 1.

Приравняем ее к 0:

4x^3 - 1 = 0;

x = (1/4) ^ (1/3).

Точка x0 = (1/4) ^ (1/3) является точкой минимума, найдем значение функции в этой точке:

y ((1/4) ^ (1/3)) = (1/4) ^ (4/3) + 1 - (1/4) ^ (1/3) > 0.

Так как ордината точки минимума положительна, то y (t) = t^4 - t + 1 > 0 при любых t, что и требовалось доказать.