Неравенство log0.2 (x-5) >-2 уравнение 3+2 log2 (x-7) = log2 (2x+1) найти значение выражения

1. Основание логарифма меньше единицы, меняем знак неравенства:

log0,2 (x - 5) > - 2; {x - 5 > 0;

{x - 5 <0,2^ (-2); {x> 5;

{x <5 + (1/5) ^ (-2); {x> 5;

{x <5 + 5^2; {x> 5;

{x <5 + 25; {x> 5;

{x < 30; x ∈ (5; 30).

2. 3 + 2log2 (x - 7) = log2 (2x + 1);

1) ОДЗ:

{x - 7 > 0;

{2x + 1 > 0; {x > 7;

{2x > - 1; {x > 7;

{x > - 1/2; x ∈ (7; ∞).

2) Преобразуем уравнение:

3 + 2log2 (x - 7) = log2 (2x + 1); log2 (8) + log2 ((x - 7) ^2) = log2 (2x + 1); log2 (8 (x - 7) ^2) = log2 (2x + 1); 8 (x - 7) ^2 = 2x + 1; 8 (x^2 - 14x + 49) = 2x + 1; 8x^2 - 112x + 392 - 2x - 1 = 0; 8x^2 - 114x + 391 = 0; D/4 = 57^2 - 8 * 391 = 121; x = (57 ± √121) / 8 = (57 ± 11) / 8; x1 = (57 - 11) / 8 = 46/8 = 23/4 = 5,75 ∉ ОДЗ; x1 = (57 + 11) / 8 = 68/8 = 17/2 = 8,5.

Ответ:

1) (5; 30); 2) 8,5.