4. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если b2=9, b5=1/3.

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - это прогрессия, имеющая бесконечно много членов, у которой знаменатель q удовлетворяет условию |q| < 1. Для неё определяется понятие суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии как число, к которому неограниченно приближается сумма n первых членов рассматриваемой прогрессии при неограниченном возрастании числа n. Формула суммы (S) всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии (b_n, n = 1, 2, ...) имеет вид S = b₁ / (1 - q), где q - знаменатель (|q| < 1). Применяя формулу b_n = b₁ * q^{n - 1} и данные равенства b₂ = 9, b₅ = 1/3, имеем: b₁ * q^{2 - 1} = 9 и b₁ * q^{5 - 1} = 1/3. Эти равенства позволяют легко определить, что b₁ = 27 и q = 1/3. Подставим найденные значения в формулу S = 27 / (1 - 1/3) = 27 * 3 / (3 - 1) = 40,5.

Ответ: 40,5.