Решите уравнение sqrt (12x-5) = 3 - 2*sqrt (2x) (sqrt - корень)

Рассмотрим уравнение √ (12 * x - 5) = 3 - 2 * √ (2 * x). Прежде всего, найдём область допустимых значений неизвестной х. Согласно определения арифметического квадратного корня: во-первых, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, для нашего примера, должны выполняться неравенства 12 * x - 5 ≥ 0 и 2 * x ≥ 0, во вторых, значение арифметического квадратного корня неотрицательно: 3 - 2 * √ (2 * x) ≥ 0. Первые два неравенства выполняются, если х ∈ [5/12; + ∞). Решим третье неравенство. Имеем: 2 * √ (2 * x) ≤ 3 или √ (2 * x) ≤ 1,5. Последнее неравенство выполнится, если 0 ≤ х ≤ 1¹/₈, то есть, при х ∈ [0; 1¹/₈]. Найдём пересечение [5/12; + ∞) ∩ [0; 1¹/₈] = [5/12; 1¹/₈], которого обозначим через М. Таким образом, областью допустимых значений неизвестной х является множество М = [5/12; 1¹/₈]. Возводим обе части данного уравнения в квадрат. Следует заметить, что поскольку левая часть данного уравнения неотрицательна для любого х ∈ М, а его правая часть во множестве М может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения, то могут появляться побочные корни. Применяя формулу сокращенного умножения (a - b) ² = a² - 2 * a * b + b² (квадрат разности), имеем: 12 * x - 5 = 9 - 2 * 3 * 2 * √ (2 * x) + 4 * 2 * х или 6 * √ (2 * x) = 7 - 2 * х. Ещё раз возводим в квадрат обе части полученного уравнения. Имеем: 36 * (2 * х) = 49 - 2 * 7 * 2 * х + 4 * х² или 4 * х² - 100 * х + 49 = 0. Это уравнение является квадратным уравнением. Найдем его дискриминант: D = (-100) ² - 4 * 4 * 49 = 10000 - 784 = 9216. Так как D > 0, то квадратное уравнение имеет два действительных корня: x₁ = (100 - √ (9216)) / (2 * 4) = (100 - 96) / 8 = 4/8 = 0,5 и x₂ = (100 + √ (9216)) / (2 * 4) = (100 + 96) / 8 = 196/8 = 24,5. Поскольку 0,5 ∈ М, а 24,5 ∉ М, то решением данного уравнения является х = 0,5.

Ответ: х = 0,5.