Найти остаток при делении x^2013+1 на (x+1) ^3

1. Обозначим:

x + 1 = y.

Тогда:

(x + 1) ^3 = y^3; x^2013 + 1 = (y - 1) ^2013 + 1.

2. Следовательно, нужно найти остаток при делении многочлена f (y) на y^3:

f (y) = (y - 1) ^2013 + 1; f (y) = g (y) y^3 + h (y), где h (y) = ay^2 + by + c.

3. Воспользовавшись формулой бинома Ньютона, найдем коэффициенты a, b и c:

a = - C (2013, 2) = - 2013! / (2! * 2011!) = - 2013 * 2012/2 = - 2 025 078; b = C (2013, 1) = 2013; c = - C (2013, 0) + 1 = - 1 + 1 = 0. h (y) = ay^2 + by + c; h (x + 1) = a (x + 1) ^2 + b (x + 1) + c; h (x + 1) = - 2 025 078 (x + 1) ^2 + 2013 (x + 1).