Найдите промежутки возрамтания и убывания функции у=х^3-12 х

Для выполнения данного задания, прежде всего, найдем экстремумы заданной функции Y = X^3 - 12 * X

Для этого возьмем производную от функции: Y' = 3 * X^2 - 12

В точке экстремума, будь то минимум или максимум, значение производной должно быть равно 0 либо не должно определяться вообще.

Найдем значение Х при Y' = 0.

3 * X^2 - 12 = 0

X^2 = 12 / 3

X^2 = 4

Х₁ = - 2

Х₂ = 2

Найдем теперь значения функции Y = X^3 - 12 * X в точках экстремума:

Y₁ = X₁^3 - 12 * X₁ = (-2) ^3 - 12 * (-2) = (-8) + 24 = 16.

Y₂ = X₂^3 - 12 * X₂ = 2^3 - 12 * 2 = 8 - 24 = - 16.

Итак, у нас есть некая точка экстремума А (-2; 16) и точка экстремума В (2; - 16). Найдем теперь, какая из этих точек представляет собой максимум, а какая - минимум.

Известно, что если при переходе через точку экстремума значение производной функции меняет свой знак с "+" на "-", то данная точка является максимумом. Если же знак меняется с "-" на "+", то данная точка является минимумом.

Предположим, что на графике функции есть также еще и точки С, D, E, координаты которых по оси абсцисс равны соответственно - 5, 0 и 5.

Найдем значения производных функции в этих точках.

При Х = - 5 значение производной будет равно Y' = 3 * X^2 - 12 = 3 * (-5) ^2 - 12 = 75 - 12 = 63

При Х = 0 значение производной будет равно Y' = 3 * X^2 - 12 = 3 * 0^2 - 12 = - 12

При Х = 5 значение производной будет равно Y' = 3 * X^2 - 12 = 3 * 5^2 - 12 = 63.

Для большей наглядности перепишем еще раз все полученные значения производных при разных значениях Х:

При Х = - 5 значение производной будет равно Y' = 63

При Х = - 2 значение производной будет равно Y' = 0

При Х = 0 значение производной будет равно Y' = - 12

При Х = 2 значение производной будет равно Y' = 0

При Х = 5 значение производной будет равно Y' = 63.

Мы видим, что при пересечении точки А с координатами (-2; 16) значение производной функции меняет свой знак с "+" на "-". Это означает, что точка А является максимумом.

Также мы видим, что при пересечении точки В с координатами (2; - 16) значение производной функции меняет свой знак с "-" на "+". Это означает, что точка В является минимумом.

Таким образом, заданная функция Y = X^3 - 12 * X имеет 2 промежутка возрастания: при значениях Х (-∞; - 2) и при Х, имеющем значения (2; + ∞).

В то же самое время заданная функция имеет один промежуток собственного убывания: при Х, имеющем значения (-2; 2).

Ответ: функция возрастает при Х (-∞; - 2) и при Х (2; + ∞); функция убывает при Х (-2; 2).