Найдите все значения параметра a, при каждом, из которых уравнение |x^2 - 2ax + 7| = |6a - x^2 - 2x - 1| имеет более двух корней

Решим уравнение:

|x^2 - 2ax + 7| = |6a - x^2 - 2x - 1|; x^2 + 2x - 6a + 1 ± (x^2 - 2ax + 7) = 0.

1)

x^2 + 2x - 6a + 1 - x^2 + 2ax - 7 = 0; 2 (a + 1) x - 6 (a + 1) = 0; (a + 1) x - 3 (a + 1) = 0; (a + 1) (x - 3) = 0.

a) При a = - 1 уравнение имеет бесконечное множество решений;

b) При a ≠ - 1 уравнение имеет одно решение:

x = 3.

2)

x^2 + 2x - 6a + 1 + x^2 - 2ax + 7 = 0; 2x^2 - 2 (a - 1) x - (6a - 8) = 0; x^2 - (a - 1) x - (3a - 4) = 0; D = (a - 1) ^2 + 4 * (3a - 4) = a^2 - 2a + 1 + 12a - 16 = a^2 + 10a - 15.

Уравнение имеет два решения при D > 0:

a^2 + 10a - 15 > 0; D'/4 = 5^2 + 15 = 40; a = - 5 ± √40 = - 5 ± 2√10; a ∈ (-∞; - 5 - 2√10) ∪ (-5 + 2√10; ∞).

3) Найдем значение a, при котором корни совпадают (x = 3):

x^2 - (a - 1) x - (3a - 4) = 0; 3^2 - (a - 1) * 3 - (3a - 4) = 0; 9 - 3a + 3 - 3a + 4 = 0; 16 - 6a = 0; 6a = 16; a = 16/6 = 8/3 > - 5 + 2√10.

Это значение исключаем, потому что в этом случае получим не три, а два различных корня.

Ответ: a ∈ (-∞; - 5 - 2√10) ∪ {-1} ∪ (-5 + 2√10; 8/3) ∪ (8/3; ∞).