Решите систему уравнений методом замены переменных: Х^2 у^2+ху=2 2 х+у=3

Введём переменную z = x * y, при этом область допустимых значений z - положительные числа.

Заменим x и y в первом уравнении на z и решим квадратное уравнение.

z² + z - 2 = 0.

z_1,2 = ½ * ( - 1 + / - √ (1² - 4 * (-2) * 1)).

z₁ = ½ * ( - 1 + √9) = (3 - 1) / 2 = 1.

z₂ = ( - 1 - 3) / 2 = - 2.

Отрицательное значение нам не подходит.

Делаем обратную замену.

Для z = 1.

x * y = 1.

y = 1/x.

2 х + 1/х - 3 = 0.

Домножим обе части уравнения на x и решим квадратное уравнение.

2 х² - 3 х + 1 = 0.

х_1,2 = ¼ * ( - ( - 3) + / - √ (3² - 4 * 2 * 1)).

х₁ = (3 + 1) / 4 = 1.

х₂ = (3 - 1) / 4 = ½.

Найдём значения для y.

y = 1/x.

y₁ = 1/x₁.

y₁ = 1.

y₂ = 2.

Ответ: (1; 1), (1/2; 2).