Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены p (тыс. руб) задается формулой q=160-20p. Выручка предприятия за месяц r (в тыс. руб) вычисляется по формуле r (p) = q*p. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r (p) составит не менее 300 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб

Выручка предприятия за месяц в зависимости от цены и с учётом спроса будет выражаться следующей формулой:

r (p) = q * p = (160 - 20 * p) * p = 160 * p - 20 * p².

По условию r (p) ≥ 300, поэтому:

r (p) = 160 * p - 20 * p² ≥ 300,

r (p) = - 20 * p² + 160 * p - 300 ≥ 0. (1)

Требуется найти такую наибольшую точку p, при которой выручка будет не менее 300 тыс. руб. По сути, нужно вычислить критическую точку (экстремум) параболы (1), где возрастание функции сменяется её убыванием. Для этого найдём первую производную и приравняем к нулю:

r' (p) = - 40 * p + 160,

-40 * p + 160 = 0,

p = 4.

Производная r' (p) при переходе через точку p = 4 меняет свой знак с "плюса" на "минус", следовательно, исходная функция r (p) до р = 4 возрастает, а потом убывает. Т. е. р = 4 тыс. руб. является наибольшей ценой, при которой выручка будет равна r (4) = 160 * p - 20 * p² = 320 тыс. руб.

Ответ: р = 4 тыс. руб.