Зависимость объема спроса на продукцию q (единиц в месяц) от ее цены р (тыс. руб) задается формулой: q=65-5 р. Определите максимальный уровень цены р (в тыс. руб.) при котором значение выручки предприятия за месяц r=pq составит не менее 150 тыс. руб.

Выразим выручку предприятия через цену и спрос, получим:

r (p) = p * q = p * (65 - 5 * p) = - 5 * p² + 65 * p.

По условию задачи:

-5 * p² + 65 * p ≥ 150,

или

-5 * p² + 65 * p - 150 ≥ 0. (1)

(1) есть квадратичная функция, график которой представляет собой параболу с вершиной в точке x = - b / (2 * a).

Т. к. а < 0, то ветви параболы направлены вниз, и точка x = - b / (2 * a) есть точка максимального значения этой функции.

Найдём её:

х = 65 / 10 = 6,5 тыс. руб.,

r (p = x) = r (6,5) = 65 * 6,5 - 5 * 6,5² = 211,25 тыс. руб.

Ответ: максимальная цена будет 6,5 тыс. руб., при которой объём выручки составит 211,25 тыс. руб.