log0,5 (6|x| - 3) ≤log0,5 (4-x^2)

log_0,5 (6|x| - 3) ≤ log_0,5 (4 - x^2).

1) Рассмотрим ОДЗ (область допустимых значений):

0,5 не равно 1 (верно).

6|x| - 3 > 0;

6|x| > 3;

|x| > 1/2;

x > 1/2 и x < - 1/2.

4 - x^2 > 0;

x^2 - 4 < 0;

x^2 - 4 - это квадратичная парабола, ветви вверх;

(x - 2) (x + 2) = 0, точки пересечения с осью х равны 2 и - 2;

знак неравенства < 0, значит х принадлежит промежутку (-2; 2).

2) log_0,5 (6|x| - 3) ≤ log_0,5 (4 - x^2). Так как основание логарифма < 1, то знак неравенства перевернется:

6|x| - 3 > = 4 - x^2;

x^2 + 6|x| - 7 > = 0.

Рассмотрим два случая: х > 0 и x < 0.

3) х > 0, раскрываем модуль со знаком (+):

x^2 + 6x - 7 > = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = - 6; х₁ * х₂ = - 7.

Корни равны (-7) и 1.

Отмечаем на числовой прямой точки - 7 и 1, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > = 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; - 7] и [1; + ∞).

Промежуток (-∞; - 7] не подходит (так как х > 0). Решение неравенства [1; + ∞).

4) x < 0, раскрываем модуль со знаком (-):

x^2 - 6x - 7 > = 0.

Подберем корни квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: х₁ + х₂ = 6; х₁ * х₂ = - 7.

Корни равны (-1) и 7.

Отмечаем на числовой прямой точки - 1 и 7, схематически рисуем параболу, проходящую через эти точки (ветви вверх). Неравенство имеет знак > = 0, значит решением неравенства будут промежутки, где парабола находится выше прямой, то есть (-∞; - 1] и [7; + ∞).

Промежуток [7; + ∞) не подходит (так как х < 0). Решение неравенства (-∞; - 1].

5) Объединяем решение неравенств и ОДЗ.

[1; + ∞) и (-∞; - 1].

ОДЗ: x > 1/2 и x < - 1/2; (-2; 2).

Решение всего неравенства: (-2; - 1] U [1; 2).