На столе лежит 90 монет. Из них 45 монет лежат орлам вверх, а 45 решкой вверх. Разрешается одновременно переворачивать любые четыре монеты. Можно ли, повторяя эту операцию добиться того, что бы все монеты лежали орлом вверх

Переворачивая за один ход по 4 монеты орлом вверх, мы дойдем до такой ситуации, когда 89 монет будет перевернуто орлом вверх и одна орлом вниз (45/4 = 11 ост (1)). На следующем ходу мы снова должны будем перевернуть 4 монеты, таким образом, получится 3 монеты орлом вниз и 87 орлом вверх. Если мы опять попытаемся перевернуть эти 3 монеты в нужную сторону, неизбежно затронем и четверную и опять окажется 89 монет орлом вверх и одна орлом вниз.

Ответ: переворачивая одновременно по четыре монеты добиться того, чтобы все монеты были повернуты орлом вверх невозможно.