В прямоугольнике ABCD проведена биссектриса AM. Периметр прямоугольника равен 80 см. Найдите сторону AD, если площадь треугольника ABM равна 162 см.

Рассмотрим треугольник ВАМ (угол В равен 90°, так как у прямоугольника все углы прямые).

Так как АМ - это биссектриса, она делит прямой угол А пополам, значит угол ВАМ равен 45°. Следовательно, и угол ВМА = 45° (180 - 90 - 45 = 45).

Пусть АВ = МВ = а.

Тогда площадь треугольника АВМ будет равна 1/2 * а * а = 162 см².

Отсюда а² = 324; а = √324 = 18 см.

Сторона ВС = ВМ + СМ. Пусть СМ = х, тогда сторона ВС = 18 + х.

Выразим периметр прямоугольника АВСD: Р (АВСD) = (АВ + ВС) * 2 = 80.

(18 + 18 + х) * 2 = 80.

36 + х = 40.

х = 40 - 36 = 4 (см) - это отрезок СМ.

Значит, ВС = 18 + 4 = 22 (см).

У прямоугольника противолежащие стороны равны, значит, AD = ВС = 22 (см).

Ответ: сторона AD равна 22 см.