Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме членов без последних трех равно 4/3.

Question

Limonia

Математика

30 августа, 11:55

Найдите число членов арифметической прогрессии, у которой отношение суммы первых 13 членов к сумме последних 13 членов равно 1/2, а отношение суммы всех членов без первых трех к сумме членов без последних трех равно 4/3.

+4

Ответы (1)

Знаешь ответ на этот вопрос?

Константин Попов · Answer 1

1. Число членов арифметической прогрессии A (n) равно: n; 2. Сумма первых 13 членов равна: S1 = (2 * A1 + D * (13 - 1)) * 13 / 2 = 2 * (A1 + 6 * D) * 13 / 2 = 13 * (A1 + 6 * D); 3. Сумма последних 13 членов прогрессии равна: S2 = (2 * A (n-12) + D * (13 - 1)) * 13 / 2 = 13 * (A (n-12) + 6 * D); A (n-12) = A1 + D * ((n - 12 - 1) = A1 + (n - 13) * D; S2 = 13 * (A1 + (n - 13) * D + 6 * D) = 13 * (A1 + n * D - 7 * D); 4. Отношение: S1 / S2 = (13 * (A1 + 6 * D)) / (13 * (A1 + n * D - 7 * D)) = (A1 + 6 * D) / (A1 + n * D - 7 * D) = 1/2; 2 * (A1 + 6 * D) = A1 + n * D - 7 * D; 2 * A1 + 12 * D - A1 + 7 * D = n * D; A1 + 19 * D = n * D; 5. Сумма всех членов прогрессии: Sn = (2 * A1 + (n - 1) * D) * n / 2; 6. Сумма первых трех членов прогрессии: S3 = (2 * A1 + D * (3 - 1)) * 3 / 2 = 3 * (A1 + D); 7. Вычислим разность: S4 = Sn - S3 = (2 * A1 + (n - 1) * D) * n / 2 - 3 * (A1 + D) = ((2 * A1 + (n - 1) * D) * n - 6 * (A1 + D)) / 2; 8. Сумма последних трех членов прогрессии: S5 = (2 * A (n-2) + D * (3 - 1)) * 3 / 2 = 3 * (A (n-2) + D); A (n-2) = A1 + D * ((n - 2 - 1) = A1 + (n - 3) * D; S5 = 3 * (A1 + (n - 2) * D); 9. Разность: S6 = Sn - S5 = (2 * A1 + (n - 1) * D) * n / 2 - 3 * (A1 + (n - 2) * D) = ((2 * A1 + (n - 1) * D) * n - 6 * (A1 + (n - 2) * D)) / 2; 10. Отношение: S4 / S6 = (((2 * A1 + (n - 1) * D) * n - 6 * (A1 + D)) / 2) / (((2 * A1 + (n - 1) * D) * n - 6 * (A1 + (n - 2) * D)) / 2) = ((2 * A1 + (n - 1) * D) * n - 6 * (A1 + D)) / ((2 * A1 + (n - 1) * D) * n - 6 * (A1 + (n - 2) * D)) = 4/3; 3 * ((2 * A1 + (n - 1) * D) * n - 6 * (A1 + D)) = 4 * ((2 * A1 + (n - 1) * D) * n - 6 * (A1 + (n - 2) * D)); n * (2 * A1 + (n - 1) * D) = 6 * A1 + 6 * (4 * n * D - 11 * D); n * (2 * A1 + (n - 1) * D) - 6 * A1 - 6 * (4 * n * D - 11 * D) = 0; 2 * A1 * (n - 3) + n * D * (n - 3) - 22 * D * (n - 3) = 0; (n - 3) * (2 * A1 + n * D - 22 * D) = 0; 11. Так как: N 3; (иначе первые три члена были бы и последними, а у нас S3 S5); 2 * A1 + n * D - 22 * D = 0; n * D = 22 * D - 2 * A1; 12. Сравниваем с пунктом (4) : n * D = A1 + 19 * D; 22 * D - 2 * A1 = A1 + 19 * D; 3 * A1 = 3 * D; A1 = D; 12. Вычисляем n: n * D = A1 + 19 * D = D + 19 * D = 20 * D; n = (20 * D) / D = 20. Ответ: число членов прогрессии A (n) равно 20.