Решите уравнение sin^2x+2cos^2 2x=7/4

1. Умножаем уравнение на 4 и переносим число в левую часть:

sin^2x + 2cos^2 (2x) = 7/4; 4sin^2x + 8cos^2 (2x) = 7; 8cos^2 (2x) + 4sin^2x - 7 = 0; 8cos^2 (2x) + 4sin^2x - 2 - 5 = 0; 8cos^2 (2x) - 2 (1 - 2sin^2x) - 5 = 0.

2. Используем формулу двойного угла:

cos2α = 1 - 2sin^2α; 8cos^2 (2x) - 2cos2x - 5 = 0; D/4 = 1^2 + 8 * 5 = 1 + 40 = 41; cos2x = (1 ± √41) / 8; 2x = ±arccos ((1 ± √41) / 8) + 2πk, k ∈ Z; x = ±1/2 * arccos ((1 ± √41) / 8) + πk, k ∈ Z.

Ответ: ±1/2 * arccos ((1 ± √41) / 8) + πk, k ∈ Z - знаки "±" независимы.