Найдите точку максимума функции y = (x+4) ^2 (x+2) - 10

1. Найдём производную функции у = (х + 4) ^2 * (х + 2) - 10:

у' = 2 * (х + 4) * (х + 2) + (х + 4) ^2 = 2 * (х^2 + 2 х + 4 х + 8) + х^2 + 8 х + 16 = 2 х^2 + 4 х + 8 х + 16 + х^2 + 8 х + 16 = 3 х^2 + 20 х + 32.

2. Приравняем эту производную к нулю:

3 х^2 + 20 х + 32 = 0;

D = b^2 - 4ac = 400 - 4 * 3 * 32 = 400 - 384 = 16;

x1 = (-b + √D) / 2a = (-20 + 4) / 6 = - 16/6 = - 2 2/3;

x2 = (-b - √D) / 2a = (-20 - 4) / 6 = - 24/6 = - 4.

3. Найдём знаки производной функции на интервалах (-∞; - 4), (-4; - 2 2/3), (-2 2/3; + ∞):

у' (-5) = 3 * (-5) ^2 + 20 * (-5) + 32 = 75 - 100 + 32 = 7 > 0;

у' (-3) = 3 * (-3) ^2 + 20 * (-3) + 32 = 27 - 60 + 32 = - 1 < 0;

у (0) = 32 > 0.

В точке х = - 4 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это точка максимума.

Ответ: - 4.