Решите неравенство: корень пятой степени из x+3> - x-1

1. Возведем обе части неравенства в пятую степень:

(x + 3) ^ (1/5) > - x - 1; (x + 3) ^ (1/5) > - (x + 1); x + 3 > - (x + 1) ^5; (x + 1) ^5 > - x - 3; (x + 1) ^5 + x + 3 > 0. (1)

2. Пусть:

x + 1 = u.

Тогда:

u^5 + u + 2 > 0. (2)

3. Исследуем функцию:

f (u) = u^5 + u + 2.

Легко заметить, что u = - 1 является корнем функции:

f (-1) = (-1) ^5 - 1 + 2 = 0.

Докажем, что других решений не существует:

f' (u) = 5u^4 + 1 > 0.

Производная везде положительна, функция возрастает, значит ось абсцисс пересекает в единственной точке u = - 1. Следовательно, решениями неравенств (1) и (2) будут промежутки:

u ∈ (-1; ∞); x ∈ (-2; ∞).

Ответ: (-2; ∞).